PENGUKURAN DAN TEORI RALAT
- PENDAHULUAN
Eksperimen ilmiah umumnya didominasi oleh observasi
dalam wujud aktivitas pengukuran dan analisis data. Tujuannya
antara lain verifikasi model teoritis (rumus) yang telah ada, atau mencari dan
menentukan konstanta fisika. Hasilnya dapat digunakan sebagai umpan balik bagi
model teori tersebut. Teori yang baik harus dapat menjelaskan gejala-gejala
alam, bahkan lebih dari itu harus dapat meramalkan berbagai gejala baru yang
perlu diuji dengan eksperimen-eksperimen baru. Jadi, peran pengukuran dan
analisis data dalam perkembangan ilmu pengetahuan sangat penting. Secara umum
praktikum fisika dasar adalah ajang latihan eksperimen mahasiswa baru untuk
mengenal berbagai aspek pengukuran maupun analisis data. Paling tidak ada dua
hal penting sebagai latar belakang mengapa pengalaman praktikum tersebut
penting. Pertama, di SMA praktikum belum menjadi aktivitas akademik wajib
sehingga apresiasi siswa boleh dikatakan masih memprihatinkan. Kedua, saat
menekuni profesinya nanti prinsip-prinsip pengukuran dan analisis data harus
dikuasai dengan baik.
- RALAT ATAU KETIDAKPASTIAN HASIL PENGUKURAN
Sebelum diuraikan bagaimana ralat atau ketidakpastian
selalu meliputi hasil pengukuran, akan dijelaskan pengertian pengukuran. Pengukuran adalah
tindakan yang bertujuan untuk menentukan kuantitas dimensi suatu besaran pada
suatu sistem, dengan cara membandingkannya dengan satu satuan
dimensi besaran tersebut, menggunakan alat ukur yang telah terkalibrasi dengan
baik.
Hasil pengukuran berupa angka-angka yang diteruskan ke
khalayak untuk keperluan ilmiah atau sekedar keperluan praktis saja. Agar
keperluan tersebut tercapai ada beberapa pertanyaan yang muncul. Adakah jaminan
bahwa hasil pengukuran tersebut tidak salah? Jika menyimpang dari nilai sebenarnya,
berapa penyimpangan tersebut? Seberapa jauh hasil pengukuran dapat dipercaya?
Bagaimana memberitahukan hasil pengukuran tersebut?
Hasil suatu pengukuran tidak bisa dijamin tepat karena
pada suatu pengukuran, misalnya dihasilkan angka 4,38 namun jika diulang bisa
saja muncul 4,37 atau 4,39 atau 4,38 atau angka lain yang tak dapat dipastikan.
Selalu ada ketidakpastian pada setiap angka yang diperoleh dari pengukuran.
Sumbernya berasal dari ketidaksempurnaan alat, metode atau cara, dan manusia
sebagai pelaku pengukuran.
Yang patut dilakukan dengan semua keadaan itu adalah
meghindari kesalahan yang mungkin. Tetapi terpulang pada ketidaksempurnaan
manusia, itu adalah hal yang mustahil dilakukan. Oleh sebab itu pada akhirnya
harus disadari bahwa setiap pengukuran selalu mengandung kesalahan dalam bentuk
ketidakpastian hasil. Jadi selain harus menyajikan hasil pengukuran dengan
tatacara yang tepat, perlu pula disampaikan secara jujur suatu taksiran
ketidakpastian yang terikut dalam hasil pengukuran. Rambu-rambu inilah yang
harus diperhatikan oleh pelaku eksperimen sehingga orang akan dapat
mengapresiasi hasil pengukuran secara wajar.
- JENIS KESALAHAN DAN SUMBERNYA
Jenis kesalahan
sebagai penyebab ketidakpastian hasil pengukuran adalah:
- Kesalahan sistematis (systematic errors)
Adalah
ketidak-akuratan hasil pengukuran akibat alat, kalibrasi atau teknik ukur yang
salah. Misalnya:
- Kesalahan alat:
- kesalahan nol (zero error) akibat tidak
berimpitnya titik nol skala dengan titik nol jarum penunjuk.
- kelelahan (fatigue) alat karena
misalnya pegas yang dipakai telah lembek.
- gesekan antar bagian yang bergerak.
- dan sebagainya.
Kesalahan ini bisa
dihindari bila alat ukur diganti dengan yang lebih baik jika mungkin.
- Kesalahan kalibrasi yaitu
ketidak-tepatan pemberian skala ketika pertama kali alat dibuat. Bisa
dihindari dengan membandingkan alat tersebut dengan alat baku (standar).
- Kesalahan pribadi pengamat:
- Kesalahan parallax yaitu kesalahan akibat posisi
mata saat pembacaan skala tidak tepat tegak lurus di atas jarum.
- Kesalahan interpolasi yaitu salah membaca kedudukan jarum diantara
dua garis skala terdekat.
- Penguasaan prosedur dan ketangkasan penggunaan alat. Beberapa
peralatan membutuhkan prosedur yang rumit, misalnya osiloskop, yang
membutuhkan ketrampilan pemakaian yang cukup.
- Sikap pengamat, misalnya kelelahan maupun keseriusan pengamat.
Sumber
kesalahan ini dapat dihindari dengan sikap pengamatan yang baik, memahami
sumber kesalahan dan berlatih sesering mungkin.
- Pemakaian alat pada kondisi berbeda dengan saat dikalibrasi, yaitu pada kondisi suhu, tekanan atau kelembaban yang berbeda.
Itulah sebabnya perlu dicatat nilai variabel atau kondisi lingkungan saat
eksperimen dilakukan, misalnya suhu dan tekanan udara di laboratorium.
- Kesalahan Rambangan (random errors)
Walupun
kesalahan sistematis sudah berusaha dihindari, namun masih ada sumber kesalahan
lain berasal dari luar sistem dan tak dapat dikuasai sepenuhnya:
- Gerak brown molekul udara yang dapat mempengaruhi
penunjukan alat-alat halus seperti galvanometer.
- Fluktuasi tegangan listrik yang
tak teratur yang dapat mempengaruhi hasil pengukuran dengan alat-alat
ukur listrik.
- Landasan (meja, lantai atau dudukan lain) alat yang
bergetar akibat lalu lintas atau sumber lain.
- Noise atau bising pada rangkaian elektronika.
- Latar belakang radiasi kosmos pada
pengukuran dengan pencacah radioaktif.
- NILAI SEBENARNYA, NILAI PENDEKATAN TERBAIK DAN PENYIMPANGAN
Secara ringkas dari uraian di atas, kesalahan
bersumber dari ketidaksempurnaan manusia dalam membuat alat, bersikap atau mengantisipasi
prilaku alam. Akibatnya adalah kesalahan pengukuran tidak mungkin dihindari
sehingga hasilnya bukanlahnilai sebenarnya (true value) dari
besaran yang diukur. Ingatlah bahwa nilai sebenarnya tak akan pernah diketahui
selamanya. Oleh sebab itu perlu dilakukan:
- Pemilihan nilai pendekatan terbaik (best value)
sebagai pengganti nilai sebenarnya.
- Pemilihan suatu nilai lainnya sebagai ukuran dari
“penyimpangan” nilai pendekatan terbaik (best value)
terhadap nilai sebenarnya (true value). Nilai ini sekaligus sebagai
ukuran seberapa jauh nilai pendekatan terbaik dapat dipercaya.
- PENGUKURAN TUNGGAL DAN BERULANG
Pengukuran tunggal (satu kali) adalah pengukuran yang dilakukan hanya sekali dan menghasilkan satu
nilai data saja.Pengukuran berulang adalah pengukuran yang
dilakukan berkali-kali tanpa ada perubahan penyetelan (setting) alat,
misalnya lebar meja yang diukur 10 kali dengan mistar yang sama. Seandainya
pengukuran sekali dan berulang telah dilakukan dengan sebaik-baiknya, sehingga
tiap data masing-masing model pengukuran diperoleh dengan cara-cara yang sama
baiknya, tetap saja kualitas data pengukuran berulang lebih baik dari
pengukuran sekali. Mengapa demikian?
Data hasil pengukuran sekali kurang dipercaya karena
mungkin saja jika pengukurannya diulang akan diperoleh data yang berbeda.
Intuisi kita menyatakan semakin banyak pengukuran dilakukan akan diperoleh
informasi yang lebih lengkap tentang nilai sebenarnya. Kita pasti setuju dengan
pernyataan atau aksioma bahwa nilai sebenarnya akan dapat diperoleh bila
pengukuran dilakukan dalam jumlah yang tak terbilang. Tetapi alat akan rusak
atau pengamat akan sakit bila dilakukan pengukuran sebanyak-banyaknya. Jadi
berapa banyak pengukuran yang harus dilakukan? Bagaimana cara menentukan nilai
pendekatan terbaik? Bagaimana menentukan penyimpangannya dari nilai sebenarnya?
Bila dilakukan pengukuran kali berapakah tingkat kepercayaannya? Bagaimana
kalau pengukurannya kali dimana ?
- NILAI PENDEKATAN TERBAIK DAN KETIDAKPASTIAN HASIL PENGUKURAN BERULANG
Meskipun pengukuran berulang sangat disarankan, namun
jumlahnya tetaplah terbatas. Oleh sebab itu pengukuran berulang kali
disebut contoh (sample). Sementara itu dari berbagai
literatur dijelaskan bahwa sebaran atau distribusi data pengukuran berulang tak
berhingga bersifat simetri Gauss.Untuk sekumpulan data yang
diperoleh dengan pengukuran berulang terbatas kali, distribusi datanya akan
semakin simetri bila semakin besar.
Dari data yang diperoleh dengan pengukuran berulang,
akan dapat diperoleh tiga besaran yaitu nilai rata-rata (mean) sampel,nilai tengah (median) sampel,
dan nilai terbanyak muncul(modus) sampel. Manakah
yang patut dipakai sebagai nilai pendekatan terbaik?
Bila distribusi data hasil pengukuran kali dipercayai
seperti distribusi Gauss (simetri), maka nilai ketiga besaran tersebut sama.
Nilai pendekatan terbaik yang paling tepat adalah nilai rata-rata sample karena
sesuai dengan asas kuadrat terkecil(Principle of Least Square)
dalam statistik yang berbunyi “Nilai terbaik diantara sekumpulan nilai suatu
besaran adalah nilai yang sedemikian rupa sehingga jumlah selisih nilai-nilai
lain terhadap nilai tersebut setelah dikuadratkan adalah sekecil-kecilnya”.
Jika pada suatu
besaran diukur secara berulang-ulang tanpa mengubah setting alat, maka hasil
ukur terbaik merupakan nilai rata-ratanya. Untuk pengukuran yang diulangi
sampain kali dengan hasil maka nilai rata-ratanya adalah:
(1)
ketidakpastian nilai rata-rata sampel dinyatakan dengan simpangan baku (deviasi
standar, ) :
(2)
dengan adalah data pengukuran ke i, dan rata-rata
hasil ukur. pada pers. (2) dapat diinterpretasikan sebagai simpangan
tiap data terhadap nilai pendekatan terbaiknya . Kuadrat dipakai agar
tak ada perbedaan simpangan akibat atau , sementara faktor muncul karena data
yang diperoleh dianggap sebagai sampel dari semesta data hasil pengukuran
besaran yang bersangkutan.
Cara semacam ini akan memberi informasi yang cukup
kepada kita tentang kualitas kumulatif hasil pengukuran, karena tidak praktis
kalau dibeberkan satu persatu penyimpangan tiap data terhadap nilai pendekatan
terbaik. Apresiasi khalayak akan muncul dengan melihat komposisi dan .
Contohnya, bila ada dua orang melakukan pengukuran terhadap obyek yang sama
dengan peralatan yang sama. Pelaku A menghasilkan data 39,5 cm 40,0 cm dan 40,5
cm sedangkan Pelaku B memperoleh data 39,9 cm, 40,0 cm dan 40,1 cm. Bila
dilihat dari nilai pendekatan terbaik saja, kedua orang tersebut menghasilkan
data yang sama baiknya. Namun dengan melihat data yang diperoleh sepintas,
segera diketahui bahwa Pelaku B patut mendapat penghargaan lebih. Oleh karena
itulah antara lain, hasil pengukuran perlu disampaikan dalam
format
[satuan] (3)
dengan ketidakpastian .
Format tersebut secara statistik diberi pengertian “apabila pengukuran besaran diulang kali, ada jaminan 68% bahwa nilai
rata-rata sebagai nilai pendekatan terbaik akan berselisih tidak lebih dari
terhadap nilai sebenarnya”.
Perhatikan
bahwa semakin besar , ketidakpastian semakin kecil, yang berarti kualitas hasil
pengukuran makin baik. Dapat dinalar pula misalnya dengan kali pengukuran
diperoleh ketidakpastian , maka bila diinginkan ketidakpastian 10 kali lebih
baik () harus dilakukan 100 pengukuran. Namun dapat ditempuh cara lain yaitu
dengan mempergunakan alat yang 10 kali lebih teliti hanya dengan jumlah
pengukuran N akan diperoleh ketelitian (). Tentu saja
kemudahan ini harus dibayar dengan mahalnya alat yang digunakan karena 10 kali
lebih teliti.
Contoh hasil pengukuran data yang dianggap sebagai
sampel yang mengikuti distribusi Gauss sebagaimana ditampilkan pada Tabel 1.
Dari pengolahan data diperoleh dan dengan menggunakan
pers. (2) didapatkan ketidakpastian . Jadi
Perhatikanlah
jumlah angka berarti (angka penting) hasil yang disampaikan () ada 4, padahal
data pengukuran () hanya 3. Ini wajar sebagai imbalan atas pengukuran 10 kali.
Mengenai angka berarti akan dibicarakan di bagian berikutnya.
Tabel 1. Contoh
data hasil pengukuran secara berulang
(cm)
|
(cm2)
|
|
1
|
10,1
|
100,00
|
2
|
10,2
|
104,04
|
3
|
10,0
|
100,00
|
4
|
10,0
|
100,00
|
5
|
9,8
|
96,04
|
6
|
10,1
|
102,01
|
7
|
9,8
|
96,04
|
8
|
10,3
|
106,09
|
9
|
9,8
|
96,04
|
10
|
10,0
|
100,00
|
- NILAI PENDEKATAN TERBAIK DAN KETIDAKPASTIAN PENGUKURAN SATU KALI
Kadang-kadang dijumpai suatu keadaan sedemikian
sehingga pengukuran berulang tak bisa dilakukan. Misalnya persiapan pengukuran
sedemikian rumit, lama dan membutuhkan biaya serta tenaga yang banyak. Atau
bisakah Anda mengukur kecepatan satu mobil yang lewat di depan kampus
berkali-kali? Keadaan seperti itu membolehkan pengukuran dilakukan sekali.
Tentu saja tak dapat dicari dengan Pers. (2). Pengukuran sekali
menghasilkan skala terkecil alat ukur yang dipakai. Namun bila hasil
pengukuran sekali akan digunakan untuk menghitung besaran lain, maka skala
terkecil alat ukur. Hal terakhir ini akan dibicarakan pada penentuan ketidakpastian
akibat ketidakpastian dengan sifat yang berbeda.
Misalnya sebuah buku yang diukur dengan mistar
berskala terkecil 1 mm dan dilakukan sekali saja panjangnya adalah 31,1 cm,
maka hasilnya disajikan dalam bentuk
- KETIDAKPASTIAN RELATIF DAN KESEKSAMAAN
Nilai pada bentuk () adalah ketidakpastian mutlak (absolut)
yang memiliki satuan sama dengan . Cara lain untuk melaporkan hasil pengukuran
adalah dengan menuliskan ketidakpastianrelatif yaitu yang
tidak bersatuan atau dinyatakan dalam % dengan cara . Cara seperti ini memberi
informasi lebih daripada penulisan ketidakpastian mutlaknya. Contohnya, dua
pengukuran dengan alat yang sama terhadap obyek berbeda, masing-masing
dilakukan sekali, menghasilkan data sebagai berikut:
= (10 ± 0,5) mm
= (100,0 ± 0,5) mm
Ketidakpastian mutlak keduanya sama tetapi
ketidakpastian relatifnya berbeda, yang pertama 5 % dan yang kedua . Jadi alat
tadi menghasilkan ketelitian 10 kali lebih baik bila dipakai mengukur jarak 100
mm daripada mengukur 10 mm.
Ketidakpastian relatif ini dapat pula dipakai untuk
menentukan suatu ukuran kualitas yang disebut keseksamaan. Jika
pengukuran ideal diberi nilai 100 % seksama, maka ketidakpastian relatif dalam
satuan persen dianggap sebagai selisih keseksamaan sebenarnya (riil) terhadap keseksamaan
ideal. Jadi
Untuk contoh terakhir di atas = (10 ± 0,5) mm dan = (100,0 ±0,5) mm
keseksamaan masing-masing adalah 95 % dan 99,5 %. Jelas bahwa hasil kedua lebih
baik.
- ANGKA BERARTI (ANGKA PENTING)
Ketelitian (precision) hasil eksperimen
dicerminkan oleh banyak digit bilangan hasil perhitungan. Teknologi kalkulator
memungkinkan perhitungan dengan banyak angka dibelakang desimal dapat dilakukan
dengan mudah. Namun hal tersebut tidaklah berarti ketelitian dapat ditentukan
sembarang. Jumlah angka berarti sebagai gambaran hasil eksperimen harus
memperhatikan ketelitian alat yang digunakan seperti contoh sebelumnya. Angka
berarti yang terdapat dalam hasil eksperimen didefinisikan:
- Angka terkiri bukan nol adalah digit paling berarti (most
significant digit/MSD).
- Jika tak ada tanda desimal (koma) maka angka terkanan bukan nol adalah
digit paling kurang berarti (least significant digit/LSD).
- Jika ada tanda desimal (koma) maka angka terkanan adalah digit paling
kurang berarti, meskipun digit tersebut nol.
- Angka diantara LSD dan MSD adalah angka berarti.
Nilai-nilai
pada contoh berikut ini memiliki 4 angka berarti: 1234; 123.400; 123,4; 1001;
1000; 10,10; 0,0001010; 100,0. Namun ada kemungkinan ambigu pada angka tanpa
tanda desimal (koma) ketika angka paling kanan adalah nol. Angka 1010 akan
dianggap 3 angka berarti padahal nol terakhir memiliki arti fisik yang jelas.
Untuk menghindari hal tersebut gunakan saja tanda desimal atau pakai
notasi scientific yaitu angka dalam notasi desimal dikalikan
dengan perpangkatan 10 (power of ten). Jadi 1010 dapat ditulis 1010,
(tak lazim) atau 1,010 x 103jika keempat angka tersebut berarti.
Hal penting lain yang perlu diperhatikan adalah
pemotongan atau pembulatan angka. Jumlah angka berarti biasanya 1 angka lebih
banyak daripada ketelitian eksperimen. Alasannya adalah untuk menghindari
kesalahan akibat pembulatan disaat-saat berikutnya. Contoh bila hasil
eksperimen adalah = 1,979 m dengan ketidakpastian 0,012 m, hasil ini dituliskan
= (1,979 ± 0,012) m. Namun bila angka
pertama dari ketidakpastian besar seperti misalnya 0,082 m, maka kita tuliskan
= (1,98 ± 0,08) m.
Pembulatan
angka yang kurang berarti dilakukan agar diperoleh akurasi terbaik. Caranya:
- Jika bagian tersebut lebih dari 0,5 maka bulatkan ke atas.
- Jika kurang dari 0,5 maka bulatkan ke bawah.
- Jika sama dengan 0,5 maka bulatkan ke bilangan genap terdekat.
Contoh untuk
panduan ketiga: bilangan 1,25 bila hendak dibulatkan akan menjadi 1,2 tetapi
bilangan 1,35 bila hendak dibulatkan akan menjadi 1,4.
Tindakan lain yang juga disarankan adalah tidak
melakukan pembulatan sebelum hasil akhir diperoleh. Jadi bila Anda menggunakan
kalkulator, bulatkan hasil perhitungan paling akhir saja.
- ACCURACY, PRECISION, ERROR DANUNCERTAINTY
Penting sekali
untuk membedakan beberapa istilah yang sering dijumpai saat hasil eksperimen
disampaikan.
Accuracy (akurasi – ketepatan) adalah suatu ukuran
seberapa dekat hasil eksperimen dengan nilai sebenarnya. Jadi nilai ini
sebanding dengan ketepatan hasil.
Precision (presisi – ketelitian) adalah ukuran seberapa
baik hasil eksperimen telah ditentukan tanpa mengacu pada nilai sebenarnya.
Ketelitian lebih mengarah pada pengertian seperti kekonsistenan hasil. Alat
yang menghasilkan data seperti angka sebelumnya dikatakan alat yang teliti,
tidak peduli apakah hasil tersebut tepat atau tidak dengan nilai sebenarnya.
Error (ralat – kesalahan) adalah perbedaan antara
hasil observasi atau pengukuran dengan nilai sebenarnya.
Uncertainty (ketidakpastian) berkaitan dengan fluktuasi
simpangan data terhadap nilai pendekatan terbaik , sebagai gambaran kualitas
hasil pengukuran atau perhitungan.
- RAMBATAN KESALAHAN
Roti dibuat dari beberapa bahan antara lain terigu,
gula, pengembang yang akan diproses dengan suatu cara tertentu. Kesalahan dalam
memilih atau menimbang terigu atau gula jelas akan mempengaruhi kualitas
rotinya. Demikian pula bila tatacara pembuatannya keliru, juga akan
mempengaruhi kualitas roti. Pesan ilustrasi di atas adalah bahwa kesalahan pada
tindakan awal akan menentukan kualitas hasil akhir.
Analogi perumpamaan sederhana tersebut dapat dijumpai
dalam penentuan suatu besaran dengan eksperimen. Misalnya pada penentuan luas
meja praktikum melalui pengukuran panjang dan lebar (tak ditentukan pengukuran
masing-masing sekali atau lebih). Pengukuran panjang akan menghasilkan
ketidakpastian yang sebanding dengan kesalahan pengukuran, demikian pula pada
penentuan lebar meja. Ketidakpastian panjang dan lebar meja pasti akan memberi
kontribusi pada ketidakpastian luas. Selain itu proses interaksi besaran panjang
dan lebar dalam penentuan luas, seperti halnya proses pembuatan roti tadi, akan
memberi sumbangan pula terhadap ketidakpastian luas.
Panjang meja :
Lebar meja :
Luas meja : hasilnya dinyatakan dalam () m2.
Ketidakpastian , serta proses akan berkontribusi dalam
penentuan . Bila dan diukur maka dan
(4)
Marilah kita interpretasikan secara sederhana arti
pers. (4). Lambang adalah simbol operasi diferensial (turunan) parsial, yaitu
turunan terhadap salah satu variabelnya, yang menyatakan bagaimana perubahan pada mempengaruhi
terhadap ; anggap saja seperti pengaruh dalam penentuan . Demikian
pula . Jelas bahwa pers. (4) adalah cara menentukan ketidakpastian dari
ketidakpastian masing-masing variabel dan dari proses interaksinya.
Secara umum bila sebuah besaran diperoleh dari
hubungan dengan variabel-variabelnya seperti berikut
(5)
Maka
ketidakpastian adalah :
(6)
d
d
Untuk lebih
jelasnya marilah kita perhatikan contoh berikut ini. Eksperimen sederhana untuk
menentukan volume silinder pejal dilakukan dengan mengukur diameter dan tinggi
silinder tersebut berulang-ulang. Cara memperoleh data diameter dan tinggi
silinder yang demikian menyebabkan kedua data bersifat sama; diperoleh dari
pengukuran berulang.
Volume silinder
(V) = luas penampang lingkaran silinder ´
tinggi silinder
(7)
atau
(8)
dengan d dan t adalah
diameter dan tinggi silinder.
Berikut ini
adalah contoh hasil pengukuran dan yang disajikan dalam tabel
Ketidakpastian diameter dan tinggi silinder diperoleh
melalui Pers. (2) dengan hasil angka-angka pada tabel sebelah kiri.
Untuk
menuliskan hasil akhir, perhatikan rambu-rambu berikut:
- Jika diukur dengan mistar berskala terkecil 1 mm (0,1 cm), angka kedua
dibelakang koma adalah taksiran. Karenanya meskipun pengukuran berulang
menjadikan hasil lebih teliti, ada baiknya supaya aman batasi sampai
taksiran tersebut (dua angka dibelakang koma). Jadi = 2,33 cm (Ada 3 angka
berarti; angka 1 dibulatkan ke bawah). Biladiperoleh dengan mistar yang
sama, maka penulisannya =10,50 cm (Ada 4 angka berarti. Ingat, angka lima
terakhir dibulatkan ke angka genap terdekat. Jika aslinya 10,515 cm maka
pembulatnnya adalah 10,52 cm).
- Penulisan hasil = (2330 ± 4) x
10-3 cm atau d = (23,30 ±0,04) mm.
Penulisan
hasil = (10500 ± 2) x 10-3 cm
atau t = (105,00 ±0,02) mm.
Proses
berikutnya adalah menentukan volume silinder.
diubah menjadi
dan dengan
mengambil p =3,14, maka
Ketidakpastian
volume diperoleh dari pers.(6) yang telah disesuaikan, yaitu:
(9)
Perhatikan
rumus ini baik-baik, adalah sedangkan dan disesuaikan menjadi dan .
Perhatikan pula ketidakpastiannya. Selanjutnya menentukan dan ,
diubah jadi
dan
diubah menjadi
.
Jadi
dan
Bila
nilai-nilai ini dimasukkan ke Pers. (7), begitu pula nilai dan yang telah
didapat, akan diperoleh :
Hasil-hasil ini
dituliskan sebagai .
(Kenapa diambil
dua angka dibelakang koma untuk satuan cm?)
- KETIDAKPASTIAN YANG BERLAINAN SIFAT
Pengertian berlainan sifat pada ketidakpastian adalah
ketidakpastian yang diperoleh dari pengukuran sekali dan ketidakpastian yang
diperoleh dari pengukuran berulang, akan digunakan dalam penentuan
ketidakpastian besaran lain. Misalnya pada contoh penentuan volume silinder
bahasan sebelumnya, diameter diukur sekali dan tinggi
silinder diukur berulang. Pers.(7) tetap digunakan, tetapi diambil darisepertiga
skala terkecil. Alasannya adalah:
- Pengukuran berulang : memiliki
tingkat kepercayaan 68%.
- Pengukuran tunggal : karena
hanya diukur sekali, mau tidak mau kita harus mengambil (percaya penuh)
hasilnya, dengan nilai ½ skala terkecil dipercaya 100%.
- Tingkat kepercayaan 68% dan 100% harus disamakan dengan cara mengubah
kepercayaan 100% menjadi 68% :
- Perhitungan lainnya sama seperti
contoh penentuan volume silinder bab sebelumnya.
- KETIDAKPASTIAN DARI GRAFIK BESARAN DENGAN VARIABEL DIUBAH
Selain
pengukuran berulang, dilakukan pula pengambilan data suatu besaran engacu pada
besaran lain yang berubah. Contoh:
- Posisi benda bergerak pada berbagai waktu pengamatan untuk menentukan
kecepatan dan percepatan benda. Posisi diukur saat yang berbeda-beda.
- Pengukuran periode ayunan matematis untuk berbagai
panjang tali bandul, pada percobaan penentuan percepatan gravitasi bumi.
- Pengukuran panjang gelombang suara untuk frekuensi yang berbeda-beda,
pada eksperimen penentuan laju suara.
- dan lain-lain.
Cara mudah dan komunikatif untuk menyampaikan hasil
percobaan semacam ini adalah dengan grafik (gambar) karena satu grafik akan
dapat memberi informasi-informasi hasil pendekatan terbaik beserta
simpangannya. Grafik yang mudah dianalisis adalah grafik linier atau garis
lurus yang mempunyai model , dimana adalah variabel bebas yang
diletakkan pada sumbu datar, dan adalah variabel terikat (bergantung ) yang
diletakkan pada sumbu tegak. Sementara adalah kemiringan (gradien) garis dan
adalah titik potong garis lurus dengan sumbu tegak. Secara teoritis
pasangan titik () akan membentuk garis lurus. Inilah garis lurus sebenarnya
yang tidak akan pernah diperoleh. Pasangan data yang diperoleh dari
pengukuran sedikit banyak mempunyai simpangan terhadap garis lurus
sebenarnya (teoritis). Kalau titik-titik hasil pengukuran dihubungkan tak akan
membentuk garis lurus. Bagaimana mencari garis lurus pendekatan
terbaik? Bagaimana simpangannya? Jika diingat-ingat persoalan ini
mirip dengan pengukuran berulang: mencari nilai pendekatan terbaik (rata-rata)
terhadap nilai sebenarnya, beserta ketidakpastiannya.
Perhatikanlah dalam eksperimen akan diperoleh pasangan
data riil hasil pengukuran yang tak mungkin membentuk garis lurus. Indeks
menyatakan pengukuran ke-. Garis lurus pendekatan (estimasi) terbaik hanya
bisa diperoleh dari data hasil pengamatan karena cuma data itu
yang dimiliki. Dimisalkan Pers. garis lurus pendekatan terbaik tersebut adalah
:
(10)
Ingat bahwa dan diperoleh dari pengamatan, sedangkan
dihitung berdasarkan Pers.(8). Nilai mewakili data hasil pengamatan dan
mewakili nilai pendekatan terbaik yang akan memberikan garis lurus pendekatan
terbaik. Bagaimana memperoleh dan ?
Disini tak akan diuraikan bagaimana dan diturunkan
melainkan langsung rumusnya.
(11)
(12)
Hasil Pers. (9)
dan (10) dapat digunakan untuk menentukan pasangan titik-titk yang akan
membentuk garis lurus pendekatan terbaik. Bagaimana ketidakpastian , dan ?
(13)
Ketidakpastian
ini disebut standard error of estimateatau taksiran terbaik
simpangan baku (ralat baku estimasi). Perhatikan dapat diartikan
sebagai simpangan kumulatif antara hasil pengamatan dengan nilai pendekatan.
(14)
(15)
Untuk memperjelas
uraian di atas berikut ini dibahas contoh model dan data eksperimen ayunan matematis.
(16)
Hubungan T dan l tidak
linier. Pers.(16) perlu disesuaikan sehingga diperoleh
hubungan antar variabel yang linier. Untuk itu Pers. (16) diubah menjadi
atau (17)
Persamaan ini analog dengan Pers.(10), di mana , dan .
Sedangkan dicari dari rumus.
Misalkan data hasil pengukuran eksperimen ayunan matematisadalah seperti disajikan pada Tebel 2.
Tabel 2 Data
pengukuran eksperimen ayunan matematis
L
|
T
|
l2
|
T2
|
lT2
|
|
1
|
0,60
|
1,56
|
0,36
|
2,4336
|
1,4602
|
2
|
0,70
|
1,68
|
0,49
|
2,8224
|
1,9757
|
3
|
0,80
|
1,80
|
0,64
|
3,2400
|
2,5920
|
4
|
0,90
|
1,90
|
0,81
|
3,6100
|
3,2490
|
5
|
1,00
|
2,00
|
1,00
|
4,0000
|
4,0000
|
6
|
1,10
|
2,11
|
1,21
|
4,4521
|
4,8973
|
7
|
1,20
|
2,20
|
1,44
|
4,8400
|
5,8080
|
8
|
1,30
|
2,28
|
1,69
|
5,1984
|
6,7579
|
9
|
1,40
|
2,40
|
1,96
|
5,7600
|
8,0640
|
10
|
1,50
|
2,51
|
2,25
|
6,3001
|
9,4502
|
S
|
10,50
|
20,44
|
11,85
|
42,6566
|
48,2542
|
Pasangan data hasil pengukuran adalah (). Penentuan
dandilakukan dengan Pers.(11) dan (12) yang disesuaikan dengan notasi
eksperimen ini :
(18)
(19)
Diperoleh dan . Seperti besaran lainnya, dan harus dicari ketidakpastiannya dengan
Pers. (14) dan (15) setelah dan Pers. (13) diselesaikan.
Nilai-nilai diperoleh dari Pers.(10), yang diubah
menjadi . Jika digabung dengan data sebelumnya akan diperoleh :
Dengan Pers.
(11), akan diperoleh . Selanjutnya
®
®
Hasilnya dan
Sebelum
dihitung, marilah kita lihat grafik berikut.
Data pengukuran
tidak boleh dihubungkan dengan garis lurus atau patah-patah. Hanya data
estimasi yang dihubungkan dengan garis lurus. Garis lurus ini adalah garis
lurus pendekatan terbaik untuk eksperimen ayunanmatematis tersebut. Jika titik-titik
hasil pengukuran cukup dekat dengan titik-titik estimasi, data eksperimen
dianggap berkualitas baik. Selanjutnya menentukan .
Analisis
sebelumnya memperlihatkan , maka :
Sesuai aturan . Berapakah
? Berdasarkan Pers. (6) maka :
Hasil tersebut
dilaporkan dengan pertimbangan ketelitian dua angka dibelakang koma, merujuk
ketelitian alat yang digunakan.
Jadi .
- TAMBAHAN-TAMBAHAN
Selain berbagai
uraian di atas, kiranya perlu diperhatikan pula beberapa hal berikut.
- Bila dengan dapat berupa bilangan bulat atau pecahan, maka ketelitian
hasil pengukuran menurun jika , tapi membaik bila .
- Bila , ketidakpastian akan membesar cepat sekali bila . Jadi harus
diukur dengan alat yang paling teliti yang tersedia.
- Bila , untuk sudut kecil akan menghasilkan ketelitian yang gawat.
- Bila , maka . Ketelitian relatif menjadi merosot sekali bila . Untuk
menghindari itu, jangan mengukur dan secara terpisah, melainkan lakukan
pengukuran keduanya berbarengan. Misal pada pengukuran beda potensial,
langsung ukur beda potensial antara dua titik tanpa masing-masing titik
diukur lebih dulu tegangannya ke tanah (ground).
- Bila dengan dan bulat ataupun pecahan, maka jikalau adalah lebih besar
dari , pengukuran harus diusahakan dengan alat yang 10x lebih teliti
daripada alat untuk mengukur .
- Pemanfaatan grafik garis lurus seperti pada point ke-M,
harus digunakan model hubungan linier antara variabel-variabel yang
dilibatkan. Misalnya, model asli ayunanmatematis perlu diubah dulu
menjadi seperti Pers.(13.a) sehingga diperoleh hubungan linier antara
terhadap . Contoh lainnya adalah . Meskipun pada eksperimen ini diukur dan
, namun analisis dan grafik dibuat atas hubungan linier antara terhadap .
Kasus-kasus ini dinyatakan dengan istilah “pelurusan persamaan”.
- Contoh lainnya model dengan dan adalah konstanta, diukur dan . Bila
dan diplot langsung akan diperoleh grafik eksponen yang tidak lurus
sehingga Pers. (8), (9) dan yang terkait tak boleh dipakai. Untuk
meluruskan model ini ubah menjadi . Model baru ini memperlihatkan bahwa
hubungan terhadap linier dengan gradient dan konstanta .
Massa jenis
Dari
Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Massa jenis adalah pengukuran massa setiap satuan volume benda. Semakin tinggi massa jenis suatu
benda, maka semakin besar pula massa setiap volumenya. Massa jenis rata-rata
setiap benda merupakan total massa dibagi dengan total volumenya. Sebuah benda yang memiliki massa jenis
lebih tinggi (misalnya besi) akan memiliki volume
yang lebih rendah daripada benda bermassa sama yang memiliki massa jenis lebih
rendah (misalnya air).
Massa jenis berfungsi untuk menentukan
zat. Setiap zat memiliki massa jenis yang berbeda. Dan satu zat berapapun
massanya berapapun volumenya akan memiliki massa jenis yang sama.
Rumus untuk menentukan massa jenis adalah
dengan
ρ adalah massa jenis,
1 g/cm3=1000 kg/m3
Massa jenis air murni adalah 1 g/cm3 atau sama dengan 1000 kg/m3
Selain karena angkanya yang mudah diingat
dan mudah dipakai untuk menghitung, maka massa jenis air dipakai perbandingan
untuk rumus ke-2 menghitung massa jenis, atau yang dinamakan 'Massa Jenis
Relatif'
Rumus massa jenis relatif = Massa bahan /
Massa air yang volumenya sama
Halaman ini belum atau baru
diterjemahkan sebagian dari bahasa Inggris.
Bantulah Wikipedia untuk melanjutkannya. Lihat panduan penerjemahan Wikipedia. |
Material
|
ρ dalam kg/m3
|
Catatan
|
10-25 − 10-15
|
Assuming 90% H, 10% He; variable T
|
|
1.2
|
Pada permukaan laut
|
|
1 − 2
|
||
30 − 120
|
||
220 − 260
|
||
1000
|
Pada kondisi standar untuk suhu dan
tekanan
|
|
850 − 1400
|
||
5515.3
|
Rata-rata keseluruhan
|
|
8920 − 8960
|
||
11340
|
||
~13000
|
||
19100
|
||
22500
|
||
~150000
|
||
~3 × 1017
|
||
8.4 × 1016 − 1 × 1018
|
||
4 × 1017
|
Nama zat
|
ρ dalam kg/m3
|
ρ dalam gr/cm3
|
1.000 kg/m3
|
1 gr/cm3
|
|
800 kg/m3
|
0,8 gr/cm3
|
|
13.600 kg/m3
|
13,6 gr/cm3
|
|
2.700 kg/m3
|
2,7 gr/cm3
|
|
7.874 kg/m3
|
7,87 gr/cm3
|
|
19.300 kg/m3
|
19,3 gr/cm3
|
|
8.400 kg/m3
|
8,4 gr/cm3
|
|
10.500 kg/m3
|
10,5 gr/cm3
|
|
21.450 kg/m3
|
21,45 gr/cm3
|
|
7.140 kg/m3
|
7,14 gr/cm3
|
|
1,2 kg/m3
|
0,0012 gr/cm3
|
|
920 kg/m3
|
0,92 gr/cm3
|
